Свойства колец матанализ. Простейшие свойства колец. Кольцо, поле. примеры
называется порядком элемента а. Если такого n не существует, то элемент а называется элементом бесконечного порядка.
Теорема 2.7 (малая теорема Ферма). Если a G и G конечная группа, то a |G| =e .
Примем без доказательства.
Напомним, что каждая группа G, ° является алгеброй с одной бинарной операцией, для которой выполняются три условия, т.е. указанные аксиомы группы.
Подмножество G 1 множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G 1 , ° является группой.
Можно доказать, что непустое подмножество G 1 множества G является подгруппой группы G, ° тогда и только тогда, когда множество G 1 вместе с любыми элементами а и b содержит элемент а° b -1 .
Можно доказать следующую теорему.
Теорема 2.8 . Подгруппа циклической группы является циклической.
§ 7. Алгебра с двумя операциями. Кольцо
Рассмотрим алгебры с двумя бинарными операциями.
Кольцом называется непустое множество R , на котором введены две бинарные операции + и ° , называемые сложением и умножением такие, что:
1) R; + является абелевой группой;
2) умножение ассоциативно, т.е. для a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для
a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(а ° c) и (а +b)° c= (a° c)+(b° c).
Кольцо называется коммутативным, если для a,b R: a ° b=b ° a .
Кольцо записываем как R; +, ° .
Так как R является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через 0 или θ и называют нулем. Аддитивную обратную для a R обозначают через -а. При этом в любом кольце R имеем:
0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.
Тогда получаем, что
x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 для х R; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 для y R.
Итак, мы показали, что для х R: x ° 0 = 0° х = 0. Однако из равенства x ° y=0 не следует, что х= 0 или у= 0. Покажем это на примере.
Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке функций. Введем для этих функций обычные операции сложения и умножения: f(x)+ ϕ (x) и f(x)· ϕ (x) . Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается C . Рассмотрим функцию f(x) и ϕ (x) , изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что f(x) ≡ / 0 и ϕ (x) ≡ / 0, но f(x)· ϕ (x) ≡0.
Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей: a ° 0= 0 для a R и на примере показали, что может быть, что a ° b= 0 для a ≠ 0 и b ≠ 0.
Если в кольце R имеем, что a ° b= 0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считаем тривиальным делителем нуля.
f(x)·ϕ(x)≡0 |
|||||
ϕ (x) |
Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.
Легко видеть, что
0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y
и поэтому x ° (-y)=(-x) ° y является обратным элементом для элемента х° у, т.е.
х ° (-у ) = (-х )° у = -(х ° у ).
Аналогично можно показать, что (- х) ° (- у) = х° у.
§ 8. Кольцо с единицей
Если в кольце R существует единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.
Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативную обратную для a R (обратную по умножению) будем обозначать через а-1 .
Теорема 2.9 . Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R .
Доказательство. Пусть R содержит не только 0. Тогда для a ≠ 0 имеем а° 0= 0 и а° 1= а ≠ 0, откуда следует, что 0 ≠ 1, ибо если бы 0= 1, то и их произведения на а совпадали бы.
Теорема 2.10 . Аддитивная единица, т.е. 0, не имеет мультипликативного обратного.
Доказательство. а° 0= 0° а= 0 ≠ 1 для а R . Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения.
Характеристикой кольца R называют наименьшее натуральное число k
такое, что a + a + ... + a = 0 для всех a R . Характеристика кольца
k − раз
записывается k=char R . Если указанного числа k не существует, то полагаем char R= 0.
Пусть Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел; С – множество всех комплексных чисел.
Каждое из множеств Z, Q, R, C с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности. Характеристика каждого из этих колец равна нулю.
Кольцо непрерывных на функций (кольцо C ) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на . Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C= 0.
Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R= 2M - множество всех подмножеств множества М. На R введем две операции: симметрическую разность А+ В= А В (которую назовём сложением) и пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили
кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет , а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А, А R , имеем: А+ А = А А= . Следовательно, charR = 2.
§ 9. Поле
Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.
Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы.
Поле – это множество P с двумя бинарными операциями «+ » и «° », называемыми сложением и умножением, такими, что:
1) сложение ассоциативно: для a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;
2) существует аддитивная единица: 0 P, что для a P: a+0 =0 +a=a;
3) существует обратный элемент по сложению: для a P (-a) P:
(-a)+a=a+(-a)=0;
4) сложение коммутативно: для a, b P: a+b=b+a ;
(аксиомы 1 – 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению);
5) умножение ассоциативно: для a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;
6) существует мультипликативная единица: 1 P , что для a P:
1 ° a=a° 1 =a;
7) для любого ненулевого элемента (a ≠ 0) существует обратный элемент по умножению: для a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;
8) умножение коммутативно: для a,b P: a ° b=b ° a ;
(аксиомы 5 – 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению);
9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).
Примеры полей:
1) R;+, - поле вещественных чисел;
2) Q;+, - поле рациональных чисел;
3) C;+, - поле комплексных чисел;
4) пусть Р 2 ={0,1}. Определим, что 1 +2 0=0 +2 1=1,
1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Тогда F 2 = P 2 ;+ 2 , является полем и называется двоичной арифметикой.
Теорема 2.11 . Если а ≠ 0, то в поле единственным образом разрешимо уравнение а° х=b .
Доказательство . a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b
В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.
Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:
1. a+b=b+a (коммутативность сложения).
2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).
3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .
4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.
5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).
5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).
Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.
Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.
6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).
7. ab=ba (коммутативность умножения).
8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .
9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.
В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.
Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.
Примеры колец:
1. Множество квадратных матриц.
Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.
2. Множество всех комплексных чисел.
3. Множество всех действительных чисел.
4. Множество всех рациональных чисел.
5. Множество всех целых чисел.
Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .
Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Кольца
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Свойства колец (R,+,.)
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
то , , fg=0 .
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где , , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля). Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
. Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля). Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
). Непустое множество К,
на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям: 1) относительно операции сложения К
- коммутативнаятруппа; 2) относительно операции умножения К
- полугруппа; 3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb
для всех а, b, c K
, называется кольцом (К,+,
). Структура (К,
+) называется аддитивной группой
кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba.
для всех а
, b
, то кольцо называется коммутативным.
Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К
есть кольцо с единицей.
Подмножество L кольца называется подкольцом,
если L
- подгруппа аддитивной группы кольца и L
замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b
L выполняется а+b L
и ab L.
Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным
множеством S K,
называется пересечение всех подколец К,
содержащих S. 1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ
целых чисел, делящихся на п,
будет подкольцом без единицы при п>1.
Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей. 2. Множество квадратных матриц порядка п
относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е
- единичной матрицей. При п>1
оно некоммутативное. 3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены с переменной х
и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 ,
..., а n ,
из К.
Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К
от переменной х
над кольцом К
(например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K
от т
переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т
над кольцом K.
4. Пусть X
- произвольное множество, К
-произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К,
определенных на множестве X
со значениями в К
Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами (f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),
где + и - операции в кольце К.
Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K
. Оно называется кольцом функций
на множестве X
со значениями в кольце К.
Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n
, (а т) п =а тп
для всех m
, n
и всех a
. Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел: 1) для всех a
a 0=0 a=0; 2) .(-а)b=а(-b)=-(ab)
; 3) - a=(-1)a
. Действительно: 2) 0=a
(аналогично (-a)b=-(ab)); 3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a
. Поле
В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0,
следует, что либо а
=0, либо b
=0. Но в кольце квадратных матриц порядка n
>1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = . Если в кольце К ab=0
при а
0, b
, то а
называется левым, а b -
правым делителем нуля.
Если в К
нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K
называется кольцом без делителей нуля.
1. В кольце функции f:
R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x.
Для них f 1 (x)
=0 при x
и f 2
(x
)=0 при x
, а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x)
- нулевая функция, хотя f 1 (x)
и f 2
(x) .
Следовательно, в этом кольце есть делители нуля. 2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b),
в котором заданы операции сложения и умножения: (a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);
(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).
Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0). Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с.
Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.
Пусть К
- кольцо, с единицей. Элемент а
называется обратимым,
если существует такой элемент а -1 ,
для которого aa -1 =a -1 a=1
. Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab
=0
, то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0
(аналогично ba=0
). Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.
Действительно, умножение в К
ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а
и b
обратимы, то Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К,
в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K
\{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление. Коммутативное кольцо Р
с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.
Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой
поля. Произведение аb -1
записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0
. Элемент является единственным решением уравнения bx=a.
Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам: Докажем, например, второе из них. Пусть х=
и у=
- решения уравнений bx=a, dy=c.
Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=
- единственное решение уравнения bdt=da+bc.
1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел. 8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ. 8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом. 8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения: а) множество целых чисел; б) множество рациональных чисел; в) множество действительных чисел, отличных от нуля. 8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц: а) группу; б) кольцо; 8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения: а) некоммутативное кольцо; б) коммутативное кольцо; 8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц: а) кольцо; 8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения: 8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом: ee=e, ea=a, ae=a, aa=e. а) группу; б) абелеву группу. 8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ. 8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать. Понятие кольца, простейшие свойства колец.
Алгебра (K
, +, ∙) называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы: 1. (K
, +) – коммутативная группа; 2. 3. a
(bc
) = (ab
)
c
. Если операция умножения в кольце коммутативная, то кольцо называется коммутативным. Пример.
Алгебры (Z, +, ∙), (Q
, +, ∙), (R
, + ,∙) являются кольцами. Кольцо обладает следующими свойствами: имеет место 1) a
+ b
= a
=> b
= 0; 2) a
+ b
= 0 => b
= - a
; 3) – (- a
) = a
; 4) 0∙a
= a
∙0 = 0 (0 – ноль кольца); 5) (-a
)∙b
= a
∙(-b
) = -a
∙b
; 6) (a
– b
)∙c
= a
∙c
– b
∙c
, где a
– b
= a
+ (-b)
. Докажем свойство 6. (a – b
)∙c
= (a +
(-b
))∙c
= a
∙c
+ (-b
)∙c
= a
∙c
+(-b
∙c
)= =a
∙c – b
∙c
. Пусть (K
A
K
называется подкольцом кольца (K
,+,∙), если оно является кольцом относительно операций в кольце (K
, +, ∙). Теорема.
Пусть (K
, +, ∙) – кольцо. Непустое подмножество A
K
,
является подкольцом кольца К
тогда и только тогда, когда Пример.
Кольцо (Q, +, ∙) является подкольцом кольца (А
, +, ∙), где A
= ={a
+
b
| a
,
b
Q}. Понятие поля. Простейшие свойства полей
.
Определение.
Коммутативное кольцо (Р
, +, ∙) с единицей, где ноль кольца не совпадает с единицей кольца, называется полем, если Все свойства колец справедливы для полей. Для поля (Р
,+,∙) справедливы также следующие свойства: 1) 2) ab = e
|=> a
≠0 b =
а
-1 ; 3) 4) ab
= 0 5) ad = bc
(b
≠0, d
≠0); 6) . Пример.
Алгебры (Q, +, ∙), (А
, +, ∙), где А
= {a
+b
| a
,
b
Q}, (R
, +, ∙) – поля. Пусть (Р
,+,∙) – поле. Непустое подмножество F
P
, являющееся полем относительно операции в поле (Р
,+,∙) называется подполем поля Р
. Пример.
Поле (Q,+,∙) является подполем поля действительных чисел (R,+,∙). Задачи для самостоятельного решения
1. Покажите, что множество относительно операции умножения есть абелева группа. 2.
На множестве Q\{0}определена операция а
b
= 3. На множестве Z задана бинарная алгебраическая операция, определенная по правилу, а
b
= а+
b
–
2. Выясните, является ли алгебра (Z,) группой. 4. На множестве А
= {(a
,
b
) 5. Пусть Т
– множество всех отображений 6. Пусть А
={1,2,…,n
}. Взаимнооднозначное отображение f
: 7.
Выясните, образует ли кольцо относительно сложения, умножения: a
) N
; b
) множество всех нечетных целых чисел; c)множество всех четных целых чисел; d
) множество чисел вида 8. Является ли кольцом множество К
={а
+b
9. Покажите, что множество А
={a
+b
} относительно операций сложения и умножения есть кольцо. 10. На множестве Z
определены две операции: a
b
=a
+b
+1, ab
=
ab
+
a
+
b
. Доказать, что алгебра 11. На множестве классов вычетов по модулю m
заданы две бинарные операции:Доказать, что алгебра 12 . Опишите все подкольца кольца 13. Выясните, какие из следующих множеств действительных чисел являются полями относительно операций сложения и умножения: a
) рациональные числа с нечетными знаменателями; b
) числа вида c
) числа вида d
) числа вида §5. Поле комплексных чисел. Операции над комплексными
числами в алгебраической форме
Поле комплексных чисел
.
Пусть заданы две алгебры (А
,+,∙), (Ā
, , ◦). Отображение f
:
A
в(на)
>Ā
, удовлетворяющее условиям: Определение.
Гомоморфное отображение f
алгебры (А
, +, ∙) на алгебру (Ā
, , ◦) называется изоморфным отображением, если отображение f
множества А
на Ā
инъективно. С точки зрения алгебры изоморфные алгебры неразличимы, т.е. обладают одинаковыми свойствами. Над полем R
уравнение вида x
2
+1 = 0 не имеет решений. Построим поле, которое содержит подполе, изоморфное полю (R
,+,∙), и в котором уравнение вида x
2 +1 = 0 имеет решение. На множестве C = R
×
R
= {(a
,
b
) | a
,
b
R
} введем операции сложения и умножения следующим образом: (a
,
b
) (c
,
d
) = (a
+
c
, b
+
d
), (a
,
b
) ◦ (c
,
d
) = (ac
-bd
, ad
+bc
). Нетрудно доказать, что алгебра (C, ,◦) коммутативное кольцо с единицей. Пара (0,0) – ноль кольца, (1,0) – единица кольца. Покажем, что кольцо (С
, ,◦) – поле. Пусть (a
,
b
) C, (a
,
b
) ≠ (0,0) и (x
,y
) C такая пара чисел, что (a
,
b
)◦(x
,
y
) = (1,0). (a
,
b
)◦(x
,
y
) = (1,0) (ax
–
by
,
ay
+
bx
) = (1,0) (1) Из (1) => Построим отображение f
: R Покажем, что уравнение вида х
2 +1 = 0 в поле (C , , ◦) имеет решения. (х,у
) 2 + (1,0) = (0,0) (x
2
-
y
2
+1, 2xy
) = (0,0) (2) (0,1), (0, -1) – решения системы (2). Построенное поле (C , ,◦) называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Пусть (С, +, ∙) поле комплексных чисел, Сложение комплексных чисел: α
= а+
bί
, β
= с+
d
ί
, α +β =
(а,
b
) + (c
,
d
) = (a
+
c
,
b
+
d
) = a
+
c
+
(b
+
d
)ί.
Умножение комплексных чисел: α∙β =
(a
,
b
)(c
,
d
) = (a
∙
c
–
b
∙
d
, a
∙
d
+
b
∙
c
) = a
∙
c
-
b
∙
d
+
(a
∙
d
+
b
∙
c
)ί.
Чтобы найти произведение комплексных чисел а+
bί
и с+
d
ί
, нужно умножить а+
bί
на с+
d
ί
как двучлен на двучлен, учитывая, что ί
2 = -1. Частным от деления на β
, β
≠ 0 называется такое комплексное число γ, что = γ∙β
. = γ∙β
=> γ = ∙β
-1 . Так как Эту формулу можно получить, если числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, т.е. на с –
dί
. Пример.
Найти сумму, произведение, частное комплексных чисел 2+ 3ί
, β
= 3 - 4ί
. Решение. + β
=(2 + 3ί
) + (3 – 4ί
) =5– ί,
∙β
= (2 + 3ί)
(3– 4ί
) = 6 –8ί
+ 9ί
– –12ί
2 = 18 + ί
. §6. Извлечение корня
n
-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме
Тригонометрическая форма комплексного числа.
На плоскости в прямоугольной системе координат комплексное число z
=
a
+
bί
будем изображать точкой А
(а,
b
) или радиусом вектором Изобразим комплексное число z
= 2 – 3ί
. Определение.
Число Угол, образованный между положительным направлением оси Ох
и радиусом вектором , изображающим комплексное число z
=
a
+
bί
, называется аргументом числа z
и обозначается Arg
z
. Argz
определен с точностью до слагаемое 2πk
, . Аргумент комплексного числа z
, удовлетворяющий условию 0≤ < 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z
и обозначается arg
z
. Из OAA 1 =>a
= Пусть z
1 = r
1 (cos φ
1 + ί
sin
φ
1), z
2 = r
2 (cos
φ
2 + ί
sin
φ
2). Тогда z
1∙ z
2 = =r
1∙ r
2 [(cosφ
1 ∙cosφ
2 – sin
φ
1∙ sin
φ
2)+i
]= r
1∙ r
2 [(cos
(φ
1+ φ
2) + i
sin (φ
1+ φ
2)] . Отсюда следует, что |z
1 z
2 | = |z
1 | |z
2 |, Arg
z
1 ∙z
2 = Arg
z
1 + Arg
z
2 . Arg Извлечение корня
n
– ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме.
Пусть z
C
, n
N
. n
– ой степенью комплексного числа z
называется произведение =
r
n
(cosnφ
+
ί
sinnφ
). При r
= 1 имеем z
n
=
cosnφ
+
ί
sinnφ
– формула Муавра. Формула Муавра имеет место Корнем n
z
называется такое комплексное число ω
, что ω
n
=
z
. Справедливо утверждение. Теорема.
Существует n
различных значений корня n
–ой степени из комплексного числа z
=
r
(cosφ
+
ί
sinφ
) . Все они получаются из формулы при k
= 0, 1, … , n
-1. В этой формуле Обозначим через, ω
0 , ω
1 ,…, ω
n
-1 – значения корня n
-ой степени из z
, которые получаются при k
= 0, 1, ... , n
-1. Так как |ω
0 | = |ω
1 | = |ω
2 |= … =|ω
n
-1 |, arg
ω
0 = , ω
1 = arg
ω
0 +
(аb) -1 =b -1 a -1 .
a(b+c
) = ab+ac
(b+c
)a
= ba+ca
;
a
-
b
, a
∙b
.
a
≠0 существует ему обратный элемент а
-1 , а
∙ а
-1 = е
, е
– единица кольца.
a
≠0 уравнение ах =
b
имеет решение и притом единственное;
c
≠0 ac = bc
=> a=b
;
a
= 0 b
= 0;
;
. Докажите, что алгебра (Q\{0},) является группой.
} определена операция (а,
b
) (c
,
d
) = (ac
–
bd
, ad
+
bc
). Докажите, что алгебра (А,
) – группа.
заданных правилом
, где а,
b
Q, a
Докажите, что Т
является группой относительно композиции отображений.
называется подстановкой n
– ой степени. Подстановку n
– ой степени удобно записывать виде таблицы
, где Произведение двух подстановок
множества А
определяется как композиция отображений . По определению
Доказать, что множество всех подстановок n
– ой степени является группой относительно произведения подстановок.
где а,
b
} относительно операций сложения и умножения.
коммутативное кольцо с единицей.
.
c рациональными а,
b
;
с рациональными а
, b
;
с рациональными a
, b
, c
.
f
(a
+b
) =
f
(a
) f
(b
) f
(a
◦b
) = f
(a
) ◦ f
(b
), называется гомоморфизмом алгебры (А
, +, ∙) в(на) алгебру (Ā
, , ◦).
,
(a
,
b
) -1 =
. Следовательно (С, +, ∙) – поле. Рассмотрим множество R
0 = {(a
,0) | aR
}. Так как (a
,0) (b
,0) = (a
-
b
,0)R
0 , (a
,0)◦(b
,0) = (ab
,0)
R
0 ,
(a
,0) ≠ (0,0) (a
,0) -1 = (,0)
R
0 , то алгебра (R
0, ,◦) – поле.
R
0 , определенное условием f
(a
)=(a
,0) . Так как f
– биективное отображение и f
(a
+
b
)= (a
+
b
,0) = =(a
,0)(b
,0) = f
(a
)f
(b
), f
(a
∙b
) = (a
∙
b
,0) = (a
,0)◦(b
,0) =f
(a
)◦f
(b
), то f
– изоморфное отображение. Следовательно, (R
, +,∙)
(R
0, ,◦). (R
0, ,◦) – поле действительных чисел.
C,
=(a
,
b
). Так как (R
0 ,+, ∙) (R
, +, ∙), то любую пару (a
,0) отождествим с действительным числом a
. Обозначим через ί
= (0,1). Так как ί
2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, то ί
называется мнимой единицей. Представим комплексное число
=(a
,b
) в виде: =(a
,b
)=(a
,0) +(b
,0) ◦(0,1)=a
+b
∙ί.
Представление комплексного числа в виде, = а
+ b
ί
называется алгебраической формой записи числа .
a
называется действительной частью комплексного числа и обозначается Re, b
– мнимая часть комплексного числа и обозначается Im.
, то =∙β
-1 = =(a
,
b
)∙
Таким образом
.
называется модулем комплексного числа z
=
a
+
bί
и обозначается | z
|.
cos, b
= sin
. Представление комплексного числа z
=
a
+
bί
в виде z
=
r
(cos+
ί
sin) называется тригонометрической формой записи числа z
(r
=). Чтобы записать комплексное число z
=
a
+
bί
в тригонометрической форме, необходимо знать |z
| и Arg
z
, которые определяются из формул
, cos =
sin =
Arg– Arg.
обозначается оно z
n
. Пусть m
=-
n
. По определению положим, что
z≠0, z 0 = 1, z
m
= . Если z
=r
(cosφ
+ ί
sinφ
) , то z
n
=
.
– арифметический корень.
, … , arg
ω
n
-1 = arg
ω
n
-
2 + , то комплексные числа ω
0 , ω
1 ,…, ω
n
-1 на плоскости изображаются точками круга с радиусом равным
и делят этот круг на n
равных частей.